Question

将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，如此循环进行下去．请将下表中空缺的数据填写完整，并解答所提出的问题：

操作次数	1	2	3	4	…
正方形个数	4	7			…

（1）如果剪100次，共能得到

 

个正方形；
（2）如果剪n次共能得到b_n个正方形，试用含有n、b_n的等式表示它们之间的数量关系

 

；
（3）若原正方形的边长为1，设a_n表示第n次所剪的正方形的边长，试用含n的式子表示a_n

 

；
（4）试猜想a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n与原正方形边长的数量关系，并用等式写出这个关系

 

．

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类

专题：

分析：（1）观察图形及表格发现每多剪一刀就会增加3个小正方形，据此填表即可；
（2）根据得到的规律得到通项公式，然后代入求值即可；
（3）根据每次将边长一分为二即可得到答案；
（4）利用发现的规律，代入数值即可求得答案．

解答：解：观察图形知道：剪一次，有4个小正方形，
剪两次有7个小正方形，
剪三次有10个小正方形，
剪四次有13个小正方形，
规律：每多剪一刀就会增加3个小正方形，
故第n个共有4+3（n-1）=3n+1个，
（1）令n=100得3n+1=3×100=301；
（2）剪n次共能得到b_n个正方形，则用含有n、b_n的等式表示它们之间的数量关系为b_n=3n+1；
（3）第一次所剪的正方形的边长为

1

2

，
第二次所剪的正方形的边长为(

1

2

)2；
第三次所剪的正方形的边长为(

1

2

)3，
…
第n次所剪的正方形的边长a_n=(

1

2

)n；
（4）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n=1-(

1

2

)n
故答案为：（1）301；（2）b_n=3n+1；（3）an=(

1

2

)n；（4）1-(

1

2

)n．

点评：本题考查了图形的变化类问题，找到规律并用通项公式表示出来是解决本题的关键．