Question

6．如图，已知抛物线y=ax²-3ax+3与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于C点，OB=4OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线x=t（t＜0）沿轴x轴负方向平移，交射线BC于N，交抛物线于M，在平移过程中，当△BMN是以BN为腰的等腰三角形时，求t的值；
（3）设经过C点的直线l与抛物线有唯一公共点，将抛物线沿y轴向上平移n个单位交直线l于M、N（N在M点上方），交y轴于G，若MGN=90°，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由ax²-3ax+3=0得：x=$\frac{3a±\sqrt{9{a}^{2}-12a}}{2a}$，根据OB=4OA，得出$\frac{3a+\sqrt{9{a}^{2}-12a}}{2a}$=4×（-$\frac{3a-\sqrt{9{a}^{2}-12a}}{2a}$）求解即可；
（2）设BM交y轴于点D，MN交x轴于点E，由-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3=0得：点B、点C的坐标，由△CBO≌△DBO得出OC=OD，得出点D的坐标，设BD的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-3=b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，求出BD的解析式，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-3}\\{y=-\frac{3}{4}{x}^{2}+\frac{9}{4}x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{3}}\\{y=-\frac{9+3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-2\sqrt{3}}\\{y=\frac{-9+3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，最后根据t=OE代入计算即可；

（3）过点N作NE⊥y轴于点E，MD⊥y轴于点D，设直线l的解析式为y=kx+3（k≠0），根据直线l与抛物线有唯一公共点，得出△=（$\frac{9}{4}$-k）²=0，k=$\frac{9}{4}$，
直线l的解析式为y=$\frac{9}{4}$x+3，设抛物线沿y轴向上平移n个单位后的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3+n，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{9}{4}x+3}\\{y=-\frac{3}{4}{x}^{2}+\frac{9}{4}x+3+n}\end{array}\right.$得出NE=MD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3n}$，再求出DG=3+n-（-$\frac{3}{2}$$\sqrt{3n}$+3），EG=3+n-（$\frac{3}{2}$$\sqrt{3n}$+3），最后根据△GMD∽△NGE得出$\frac{DM}{EG}$=$\frac{GD}{NE}$，$\frac{\frac{2}{3}\sqrt{3n}}{n-\frac{2}{3}\sqrt{3n}}$=$\frac{n+\frac{2}{3}\sqrt{3n}}{\frac{2}{3}\sqrt{3n}}$，再计算即可．

解答 解：（1）由ax²-3ax+3=0得：
x=$\frac{3a±\sqrt{9{a}^{2}-12a}}{2a}$，
则OB=$\frac{3a+\sqrt{9{a}^{2}-12a}}{2a}$，
OA=-$\frac{3a-\sqrt{9{a}^{2}-12a}}{2a}$，
∵OB=4OA，
∴$\frac{3a+\sqrt{9{a}^{2}-12a}}{2a}$=4×（-$\frac{3a-\sqrt{9{a}^{2}-12a}}{2a}$），
∴a₁=0（舍去），a₂=-$\frac{3}{4}$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3；

（2）如图1，设BM交y轴于点D，MN交x轴于点E，
由-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3=0得：点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），
∵BA⊥MN，BC=BN，
∴∠CBO=∠DBO，
在△CBO和△DBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COB=∠DOB}\\{OB=OB}\\{∠CBO=∠DBO}\end{array}\right.$，
∴△CBO≌△DBO，
∴OC=OD，
∴点D的坐标为（0，-3），
设BD的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-3=b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
则BD的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-3}\\{y=-\frac{3}{4}{x}^{2}+\frac{9}{4}x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{3}}\\{y=-\frac{9+3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-2\sqrt{3}}\\{y=\frac{-9+3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
则t=OE=2$\sqrt{3}$-2；

（3）如图2：过点N作NE⊥y轴于点E，MD⊥y轴于点D，
设直线l的解析式为y=kx+3（k≠0），
∵直线l与抛物线有唯一公共点，
∴-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3=kx+3有两个相同的解，
∴△=（$\frac{9}{4}$-k）²=0，
∴k=$\frac{9}{4}$，
∴直线l的解析式为y=$\frac{9}{4}$x+3，
设抛物线沿y轴向上平移n个单位后的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3+n，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{9}{4}x+3}\\{y=-\frac{3}{4}{x}^{2}+\frac{9}{4}x+3+n}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{2}{3}\sqrt{3n}}\\{{y}_{1}=\frac{3}{2}\sqrt{3n}+3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{2}{3}\sqrt{3n}}\\{{y}_{2}=-\frac{3}{2}\sqrt{3n}+3}\end{array}\right.$，
∴NE=MD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3n}$，
∴DG=3+n-（-$\frac{3}{2}$$\sqrt{3n}$+3）=n+$\frac{3}{2}$$\sqrt{3n}$，
EG=3+n-（$\frac{3}{2}$$\sqrt{3n}$+3）=n-$\frac{3}{2}$$\sqrt{3n}$，
∵∠MGD=∠ENG，∠MDG=∠GEN，
∴△GMD∽△NGE，
∴$\frac{DM}{EG}$=$\frac{GD}{NE}$，
∴$\frac{\frac{2}{3}\sqrt{3n}}{n-\frac{2}{3}\sqrt{3n}}$=$\frac{n+\frac{2}{3}\sqrt{3n}}{\frac{2}{3}\sqrt{3n}}$，
∴n₁=0（舍去），n₂=$\frac{24}{9}$．

点评 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形全等三角形的判定与性质、一次函数与二次函数的交点，关键是根据题意画出图形作出辅助线，注意把不合题意的解舍去．