Question

【题目】如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，

∴BC∥AD，

∴∠CBE=∠DFE，

在△BEC与△FED中，

，

∴△BEC≌△FED，

∴BE=FE，

又∵E是边CD的中点，

∴CE=DE，

∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，

所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；

②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，

所以，AG=BC=3，

所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，

由勾股定理得，CG===，

所以，四边形BDFC的面积=3×=3；

③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；

综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．