Question

18．已知，如图，直线y=$\frac{3}{4}$x+6交y轴于A，交x轴于B，C是x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAD
（1）求C点的坐标
（2）经过A、C两点作⊙O₁交线段OA于E，交BA延长线于F，求AE+AF的值
（3）P是线段AC上一动点（不与A、C重合），过P作AC的垂线分别交x轴于M，交y轴于N，经过C、M、N三点作⊙O₂，设⊙O₂的直径为d，MN的长为c，问：d²-c²是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点A，B坐标，从而得出OA，OB，AB，由角平分线得出AD=OA=6，即有BD=16，设出C的坐标，利用三角函数求出c的值即可；
（2）先由角平分线得出CF'=CF，OF'=OE，再判断出Rt△FCG≌Rt△F'CO，即可得出FG=F'O，最后用线段的和差即可得出AE+AF=2OA即可；
（3）先作出辅助线，得出四边形OCGH是矩形，即HG=OC=12，利用∠MNG=∠NPC=90°再判断出△AOC≌△NHG，得出NH=OA=6，利用勾股定理求出NG，最后利用勾股定理得出d²-c²=NG²．即可．

解答 解：（1）如图1，

∵直线y=$\frac{3}{4}$x+6交y轴于A，交x轴于B，
∴A（0，6），B（-8，0），
∴AB=10，OA=6，OB=8，
设C（c，0），（c＞0），
过点C作CD⊥BA于D，
∴AD=OA=6，CD=OC=c，
∴BD=AB+AD=10+6=16，
在Rt△AOB中，tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}=\frac{3}{4}$，
在Rt△BCD中，tan∠ABO=$\frac{CD}{BD}=\frac{c}{16}$=$\frac{3}{4}$，
∴c=12，
∴C（12，0）
（2）如图2，

连接CF，CE，在AO的延长线上取一点F'使OF'=OE，
∴CE=CF'，
∵AC是∠OAF的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC，
∴CE=CF，
∴CF'=CF，OF'=OE，
过点C作CG⊥AF于G，
∵AC是∠OAF的角平分线，
∴CO=CG，
在Rt△FCG和Rt△F'CO中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=CO}\\{CF=CF'}\end{array}\right.$，
∴Rt△FCG≌Rt△F'CO，
∴FG=OF'
∴AE+AF=AE+AF'=AE+OA+OF'=AE+OA+OE=2OA=12；
（3）d²-c²是定值，其值为180，
理由：如图3，

作直径MG，连接NG，CG，
∴∠OCG=∠MNG=90°，
∵PM⊥AC，
∴NG∥AC，
∴∠HNG=∠OAC，
过点G作GH⊥ON，
∴∠OHG=90°，
∴∠COH=∠OCG=∠OHG=90°，
∴四边形OCGH是矩形，
∴HG=OC=12，
在△AOC和△NHG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAC=∠HNG}\\{∠AOC=∠NHG}\\{OC=HG}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△NHG，
∴NH=OA=6，
在Rt△NHG中，NG²=NH²+HG²=36+144=180，
在Rt△MNG中，MG²-MN²=NG²，
∵⊙O₂的直径为d，MN的长为c，
∴d²-c²=NG²=180，
即：d²-c²是定值，其值为180．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，矩形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形，也是解本题的难点，是一道有一定难度的中考常题．