Question

已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连结EF．

试猜想线段AD与EF的关系，并证明．

Answer 1

猜想：ＥＦ＝２ＡＤ，ＥＦ⊥ＡＤ．　　　

证明：（１）倍长ＡＤ到Ｍ，连接ＭＣ　

∴ＡＤ＝ＤＭ，ＡＭ＝２ＡＤ

∵AD是△ABC的中线

∴ＢＤ＝ＣＤ

∵∠１＝∠２

∴△ＡＢＤ≌△ＭＣＤ　　

∴ＡＢ＝ＭＣ，∠３＝∠Ｍ

∵ＡＢ＝ＡＥ

∴ＡＥ＝ＭＣ

∵AE⊥AB， AF⊥AC

∴∠ＥＡＢ＝∠５＝９０°

∵　∠５＋∠ＢＡＣ＋∠ＥＡＢ＋∠ＥＡＦ＝３６０°

∴　∠ＢＡＣ＋∠ＥＡＦ＝１８０°

∵∠４＋∠Ｍ＋∠ＭＣＡ＝１８０°

∴　∠４＋∠３＋∠ＭＣＡ＝１８０°

即∠ＢＡＣ＋∠ＭＣＡ＝１８０°

∴∠ＥＡＦ＝∠ＭＣＡ　　．

∵ＡＦ＝ＡＣ

∴△ＡＥＦ≌△ＣＭＡ　　　

∴ＥＦ＝ＡＭ，∠４＝∠Ｆ

∴ＥＦ＝２ＡＤ

（２）延长ＤＡ，交ＥＦ于Ｎ

∵∠５＝９０°

∴∠４＋∠６＝９０°

∵∠４＝∠Ｆ

∴∠Ｆ＋∠６＝９０°

∴∠７＝９０°

∴ＥＦ⊥ＡＤ