Question

通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格内填“＜”“＞”“=”）
（1）1²

 

2¹；（2）2³

 

3²；（3）3⁴

 

4³；（4）4⁵

 

5⁴；（5）5⁶

 

6⁵；…
（2）、从第1题的结果经过归纳，可猜想出nⁿ⁺¹和（ n+1）ⁿ的大小关系是．
（3）、根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下面两数的大小．
2002²⁰⁰³

 

2003²⁰⁰²
27、如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；

（1）填表：

（2）请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的正方形剪成99个小正方形？为什么？
（3）观察图形，你还能得出什么规律？

Answer 1

分析：（1）①通过计算，可以比较大小；
②由①的特例可以看出：当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（ n+1）ⁿ；当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（ n+1）ⁿ；
③由②的规律直接得出结论；
（2）①第一次是4个，以后每一次都少1多4（即多3个），照此填表即可；
②由表中的数据规律列方程解答即可；
③可以求剪后的每个小正方形的面积是与原来正方形面积的几分之几．

解答：解：（一）（1）依次填＜，＜，＞，＞，＞，…；
（2）由（1）可知当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（ n+1）ⁿ；当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（ n+1）ⁿ；
（3）因为2002+1=2003，2002＞3，
所以2002²⁰⁰³＞2003²⁰⁰²；
故填＞．
（二）（1）填表如下：

（2）不能按上述操作过程，将原来的正方形剪成99个小正方形；
因为：由（1）可知：3n+1=99，
解得n=

98

3

，不合题意．
（3）由图可知剪n次后一个小正方形的面积是原正方形面积的

1

2n+2

．

点评：第一题是由特殊值推出一般规律，第二题是由图形的变化推出一般规律，进一步利用所得规律解答问题．