【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=45°,AD=CD,CE平分∠ACB交AB于点E,在BC上截取BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC于点H,过点A作AN⊥BC,垂足为N,AN交CE于点M.则下列结论;①CM=AF;②CE⊥AF;③△ABF∽△DAH;④GD平分∠AGC,其中正确的序号是 .
【答案】①②③④.
【解析】
试题分析:如解答图所示:
结论①正确:证明△ACM≌△ABF即可;
结论②正确:由△ACM≌△ABF得∠2=∠4,进而得∠4+∠6=90°,即CE⊥AF;
结论③正确:证法一:利用四点共圆;证法二:利用三角形全等;
结论④正确:证法一:利用四点共圆;证法二:利用三角形全等.
试题解析:(1)结论①正确.理由如下:
∵∠1=∠2,∠1+∠CMN=90°,∠2+∠6=90°,
∴∠6=∠CMN,又∵∠5=∠CMN,
∴∠5=∠6,
∴AM=AE=BF.
易知ADCN为正方形,△ABC为等腰直角三角形,
∴AB=AC.
在△ACM与△ABF中,
,
∴△ACM≌△ABF(SAS),
∴CM=AF;
(2)结论②正确.理由如下:
∵△ACM≌△ABF,
∴∠2=∠4,
∵∠2+∠6=90°,
∴∠4+∠6=90°,
∴CE⊥AF;
(3)结论③正确.理由如下:
证法一:∵CE⊥AF,
∴∠ADC+∠AGC=180°,
∴A、D、C、G四点共圆,
∴∠7=∠2,
∵∠2=∠4,
∴∠7=∠4,
又∵∠DAH=∠B=45°,
∴△ABF∽△DAH;
证法二:∵CE⊥AF,∠1=∠2,
∴△ACF为等腰三角形,AC=CF,点G为AF中点.
在Rt△ANF中,点G为斜边AF中点,
∴NG=AG,
∴∠MNG=∠3,
∴∠DAG=∠CNG.
在△ADG与△NCG中,
,
∴△ADG≌△NCG(SAS),
∴∠7=∠1,
又∵∠1=∠2=∠4,
∴∠7=∠4,
又∵∠DAH=∠B=45°,
∴△ABF∽△DAH;
(4)结论④正确.理由如下:
证法一:∵A、D、C、G四点共圆,
∴∠DGC=∠DAC=45°,∠DGA=∠DCA=45°,
∴∠DGC=∠DGA,即GD平分∠AGC.
证法二:∵AM=AE,CE⊥AF,
∴∠3=∠4,又∠2=∠4,∴∠3=∠2
则∠CGN=180°-∠1-90°-∠MNG=180°-∠1-90°-∠3=90°-∠1-∠2=45°.
∵△ADG≌△NCG,
∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC,
∴GD平分∠AGC.
综上所述,正确的结论是:①②③④,共4个.
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【题目】对于数据2,2,3,2,5,2,10,2,5,2,3 ①众数是2 ②众数与中位数的数值不等 ③中位数与平均数相等 ④平均数与众数的数值相等.其中正确的结论有 ( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】已知等边△ABC,顶点B(0,0),C(2,0),规定把△ABC先沿x轴绕着点C顺时针旋转,使点A落在x轴上 ,称为一次变换,再沿x轴绕着点A顺时针旋转,使点B落在x轴上 ,称为二次变换,……经过连续2017次变换后,顶点A的坐标是:
A. (4033, ) B. (4033,0) C. (4036, ) D. (4036,0)
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【题目】如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,∠AOC=72°,∠DOF=90°.
(1)写出图中任意一对互余的角;
(2)求∠EOF的度数.
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【题目】全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款,到6月3日止各地共捐款约424亿元,用科学记数法表示约为( )元.(保留两个有效数字)
A.4.23×1010
B.4.24×1010
C.4.24×1011
D.4.23×1011
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【题目】根据科学研究表明,在弹簧的承受范围内,弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下表的关系:下列说法不正确的是( )
x/kg | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y/cm | 20 | 20.5 | 21 | 21.5 | 22 | 22.5 |
A. 弹簧不挂重物时的长度为0cm
B. x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量
C. 随着所挂物体的重量增加,弹簧长度逐渐边长
D. 所挂物体的重量每增加1kg,弹簧长度增加0.5cm
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