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【题目】如图,在四边形ABCD中,ADBC,BCD=90°,ABC=45°,AD=CD,CE平分ACB交AB于点E,在BC上截取BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC于点H,过点A作ANBC,垂足为N,AN交CE于点M.则下列结论;CM=AF;CEAF;③△ABF∽△DAH;GD平分AGC,其中正确的序号是

【答案】①②③④.

【解析】

试题分析:如解答图所示:

结论正确:证明ACM≌△ABF即可;

结论正确:由ACM≌△ABF得2=4,进而得4+6=90°,即CEAF;

结论正确:证法一:利用四点共圆;证法二:利用三角形全等;

结论正确:证法一:利用四点共圆;证法二:利用三角形全等.

试题解析:(1)结论正确.理由如下:

∵∠1=2,1+CMN=90°2+6=90°

∴∠6=CMN,又∵∠5=CMN,

∴∠5=6,

AM=AE=BF.

易知ADCN为正方形,ABC为等腰直角三角形,

AB=AC.

ACM与ABF中,

∴△ACM≌△ABF(SAS),

CM=AF;

(2)结论正确.理由如下:

∵△ACM≌△ABF,

∴∠2=4,

∵∠2+6=90°

∴∠4+6=90°

CEAF;

(3)结论正确.理由如下:

证法一:CEAF,

∴∠ADC+AGC=180°

A、D、C、G四点共圆,

∴∠7=2,

∵∠2=4,

∴∠7=4,

∵∠DAH=B=45°

∴△ABF∽△DAH;

证法二:CEAF,1=2,

∴△ACF为等腰三角形,AC=CF,点G为AF中点.

在RtANF中,点G为斜边AF中点,

NG=AG,

∴∠MNG=3,

∴∠DAG=CNG.

ADG与NCG中,

∴△ADG≌△NCG(SAS),

∴∠7=1,

∵∠1=2=4,

∴∠7=4,

∵∠DAH=B=45°

∴△ABF∽△DAH;

(4)结论正确.理由如下:

证法一:A、D、C、G四点共圆,

∴∠DGC=DAC=45°DGA=DCA=45°

∴∠DGC=DGA,即GD平分AGC.

证法二:AM=AE,CEAF,

∴∠3=4,又2=4,∴∠3=2

CGN=180°-1-90°-MNG=180°-1-90°-3=90°-1-2=45°

∵△ADG≌△NCG,

∴∠DGA=CGN=45°=AGC,

GD平分AGC.

综上所述,正确的结论是:①②③④,共4个.

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