Question

已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C, AC、BD相交于N点，连结ON、NP,下列结论：①四边形ANPD是梯形； ② ON=NP；   ③ DP·PC为定值； ④PA为∠NPD的平分线.其中一定成立的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①④

Answer 1

C
①因为DA、DP、CP、CB为⊙O切线，故DA⊥AB，CB⊥AB．
于是AD∥BC，AD=DP，CB=CP．
∴∠CAD=∠NCB，∠ADN=∠DBC，
∴△AND∽△CNB，
∴CB/AD=CN/NA=CP/DP,
∴NP∥BC，
故NP∥AD，又AN与DP相交，
∴四边形ANPD是梯形，本选项正确；
②不能确定；
③连接OP，OD，OC，如图所示：

由DA，DP为圆O的切线，
∴∠OAD=∠OPD=90°，
在直角三角形OAD和OPD中，
DA=DP，OD=OD，
∴△OAD≌△OPD，
∴∠AOD=∠POD，
同理∠POC=∠BOC，
∠AOD+∠DOP+∠POC+∠BOC=180°，
∴∠COD=∠DOP+∠COP=90°，又OP⊥CD，
∴∠POD+∠POC=90°，∠POD+∠ODP=90°，
∴∠ODP=∠POC，同理∠POD=∠PCO，
∴△OPD∽△CPO，
∴OP/PC=DP/OP,
即OP²=DP?PC，
∵OP为圆O的半径，为定值，故DP?PC为定值，本选项正确；
④因为DA=DP，所以∠DAP=∠DPA．
因为NP∥AD，所以∠NPA=∠DAP．
所以∠DPA=∠NPA．
PA为∠NPD的平分线．
则一定成立的选项有：①③④．
故答案为：①③④．