Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥BC，BD与AC相交于点E，AB=9，BC=4，DC=3．
（1）求BE的长度；
（2）求△ABE的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）由CD⊥BC，得到∠DCB为直角，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BD的长，根据AB与CD平行，得到三角形ABE与三角形CDE相似，由相似得比例，求出BE的长即可；
（2）作EF垂直于AB，EH垂直于CD，由三角形ABE与三角形CDE相似，得比例，把BC的长代入求出EF的长，即可求出三角形ABE面积．

解答：解：（1）∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
在Rt△BCD中，BC=4，DC=3，
根据勾股定理得：BD=

BC2+CD2

=5，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴DC：AB=DE：BE=3：9=1：3，
又∵BD=5，
∴BE=

3

4

BD=

15

4

；
（2）作EF⊥AB，EH⊥CD，
∵△ABE∽△CDE，
∴EF：EH=DC：AB=1：3，
又∵BC=4，
∴FE=

3

4

BC=3，
则S_△ABE=AB×EF×

1

2

=

27

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．