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函数 $数学公式$ 的图象与x轴y轴分别交于A、B两点，C点在第一象限，且△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，有一点P（ $数学公式$ ），使△ABP与△ABC的面积相等，求a的值．

解：连接OP，当P在第二象限时
∵直线 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（ $\text{[math]}$ ，0），B（0，1），AB= $\text{[math]}$ =2，
∴S_△ABP=S_△ABC=2，
又S_△ABP=S_△OPB+S_△OAB-S_△AOP，
∴-a×1+ $\text{[math]}$ ×1- $\text{[math]}$ =4，
解得a= $\text{[math]}$ ．
同理当P在第一象限时可得a= $\text{[math]}$ +4．
答：a的值为得a= $\text{[math]}$ 或a= $\text{[math]}$ +4．
分析：由已知条件可首先求得A、B坐标，进而求得两三角形的面积，由于没有明确P点的具体位置，要分类讨论利用三角形的和，差表示出面积，列出并解出方程即可得到答案．
点评：本题考查了一次函数的综合应用；做题时要认真观察图形，要会对图象进行拼接来表示出三角形的面积，而分类讨论是正确解答本题的关键．

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已知二次函数y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1．
（1）当此函数的图象与x轴有两个交点时，求a的取值范围；
（2）当a为正整数时，设此函数的图象与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长；
（3）若a依次取1，2…，2010时，函数的图象与x轴相交所截得的2010条线段为A₁B₁，A₂B₂，…，A₂₀₁₀B₂₀₁₀，试求它们的长的和．

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（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
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已知，二次函数y=-

x2-(m+3)x+m2-12的图象与x轴相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₁＜0，x₂＞0，图象与y轴交于点C，OB=2OA；
（1）求二次函数的解析式；
（2）在x轴上，点A的左侧，求一点E，使△ECO与△CAO相似，并说明直线EC经过（1）中二次函数图象的顶点D；
（3）过（2）中的点E的直线y=

x+b与（1）中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M′、N′，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交（1）中所求抛物线于点Q，是否存在t值，使S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12？若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．

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已知二次函数y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1．
（1）当此函数的图象与x轴有两个交点时，求a的取值范围；
（2）当a为正整数时，设此函数的图象与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长；
（3）若a依次取1，2…，2010时，函数的图象与x轴相交所截得的2010条线段为A₁B₁，A₂B₂，…，A₂₀₁₀B₂₀₁₀，试求它们的长的和．

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