Question

如图，同心圆的半径为6，8，AB为小圆的弦，CD为大圆的弦，且ABCD为矩形，若矩形ABCD面积最大时，矩形ABCD的周长为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：连接OA，OD，作OP⊥AB，OM⊥AD，ON⊥CD，将此题转化成三角形的问题来解决，根据三角函数的定义可以证明三角形的面积S=

1

2

absinC，根据这一公式分析面积的最大值的情况，然后熟练应用勾股定理，以及直角三角形斜边上的高等于两条直角边乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求其周长．

解答：解：连接OA，OD，作OP⊥AB，OM⊥AD，ON⊥CD，
根据矩形的面积和三角形的面积公式发现：矩形的面积为△AOD面积的4倍，
∵OA、OD的长是定值，∴当∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD=90°，则AD=

OA2+OD2

=10，
∵

1

2

AD•OM=

1

2

OA•OD，
∴OM=4.8，AB=9.6，则矩形ABCD的周长是：2（AD+AB）=2×（10+9.6）=39.2．
故答案是：39.2．

点评：本题考查了垂径定理和矩形的性质，考生应注意熟练运用勾股定理，来求边长和周长．