Question

2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．
（1）E与F是AC上两点且不与O点重合，AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；
（2）若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为1cm/s．若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）判断四边形DEBF是否为平行四边形，需证明其对角线是否互相平分；已知了四边形ABCD是平行四边形，故OB=OD；而E、F速度相同，方向相反，故OE=OF；由此可证得BD、EF互相平分，即四边形DEBF是平行四边形；
（2）若以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，则必有BD=EF，可据此求出时间t的值．

解答 解：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD；
∵AE=CF；
∴OE=OF；
∴BD、EF互相平分；
∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）∵四边形DEBF是平行四边形，当BD=EF时，四边形DEBF是矩形；
∵BD=12cm，
∴EF=12cm；
∴OE=OF=6cm；
∵AC=16cm；
∴OA=OC=8cm；
∴AE=2cm或AE=14cm；
由于动点的速度都是1cm/s，
所以t=2（s）或t=14（s）；
故当运动时间t=2s或14s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形、矩形的判定和性质，是解答此题的关键．