Question

设抛物线C₁：y=a₁x²+b₁x+c₁的顶点为（m₁，n₁），抛物线C₂：y=a₂x²+b₂x+c₂的顶点为（m₂，n₂），如果a₁+a₂=0，那么我们称抛物线C₁与C₂关于点（，）中心对称．给出抛物线①y=x²+4x+3，抛物线②y=-x²+4x+1．
（1）判断抛物线①与抛物线②是否中心对称？若是，求出对称中心的坐标；若不是，说明理由；
（2）直线y=m交抛物线①于A、B两点，交抛物线②于C、D两点，如果AB=2CD，求m的值；
（3）设抛物线①与抛物线②的顶点分别为M、N，点P在x轴上移动，若△MNP为直角三角形，求点P坐标．

Answer 1

解：（1）抛物线①y=x²+4x+3的a₁=1，抛物线②y=-x²+4x+1的a₂=-1．
∵a₁+a₂=0，
∴抛物线①与抛物线②是中心对称，抛物线①y=x²+4x+3的顶点坐标（-2，-1），
抛物线②y=-x²+4x+1的顶点坐标（2，5），
∴对称中心的坐标（，），
即：（0，2）；

（2）点A、B的横坐标是方程x²+4x+3=m的两根，
∴x_A+x_B=-4，x_A•x_B=3-m，
∴AB=|x_A-x_B|==，
同理CD=，
∵AB=2CD，
解得：m=；

（3）设点P（n，0）．由（1）得M（-2，-1），N（2，5），
作ME⊥x轴于E，作NF⊥x轴于F，PN²=NF²+PF²=25+（n-2）²，
同理PM²=ME²+PE²=1+（n+2）²，MN²=4²+6²=52．
①若∠MNP=90°，PM²=MN²+PN²，解得n=；
②若∠NMP=90°，PN²=MN²+PM²，解得n=-；
③若∠NPM=90°，PN²+PM²=MN²，解得n=±3（或由则△NPF∽△PME亦可求）．
综上，点P坐标为：P₁（，0），P₂（-，0），P₃（3，0），P₄（-3，0）．
分析：（1）根据二次函数解析式a₁+a₂=0，求出两函数的关系，结合顶点坐标得出对称中心；
（2）利用根与系数的关系以及两点之间的距离得出m的值即可；
（3）利用勾股定理以及三角形相似分别得出符合要求的所有点的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，此题综合性较强针对两点之间距离以及三角形的相似得出是解决问题的关键．