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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）．
    （1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；
    （2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
    （3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
    （4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
    分析：（1）可先求出A、B、E关于原点对称的对称点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．
    （2）根据中心对称图形的性质不难得出OA=OD，OM=ON，因此四边形AMDN是平行四边形，那么其面积就是三角形ADN面积的2倍，可据此来求S，t的函数关系式．
    （3）根据（2）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可得出S的最大值及对应的t的值．
    （4）根据矩形的性质可知：当AD=MN时，平行四边形AMDN是矩形，那么OD=ON，据此可求出t的值．
    解答：精英家教网解：（1）点A（-4，0），点B（-2，0），点E（0，8）关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），F（0，-8）．
    设抛物线C2的解析式是y=ax2+bx+c（a≠0），
    则
    16a+4b+c=0
    4a+2b+c=0
    c=-8
    ，
    解得
    a=-1
    b=6
    c=-8
    ，
    所以所求抛物线的解析式是y=-x2+6x-8．

    （2）由（1）可计算得点M（-3，-1），N（3，1）．
    过点N作NH⊥AD，垂足为H．
    当运动到时刻t时，AD=2OD=8-2t，NH=1+2t．
    根据中心对称的性质OA=OD，OM=ON，
    所以四边形MDNA是平行四边形．
    所以S=2S△ADN．
    所以，四边形MDNA的面积S=（8-2t）（1+2t）=-4t2+14t+8．
    因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t＜4．
    所以所求关系式是S=-4t2+14t+8，t的取值范围是0≤t＜4．

    （3）S=-4（t-
    7
    4
    ）2+
    81
    4
    ，（0≤t＜4）．
    所以t=
    7
    4
    时，S有最大值
    81
    4
    ．
    提示：也可用顶点坐标公式来求．

    （4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．
    由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，
    所以当AD=MN时四边形MDNA是矩形，
    所以OD=ON．所以OD2=ON2=OH2+NH2，
    所以t2+4t-2=0．
    解之得t1=
    		6
    -2，t2=-
    		6
    -2（舍）．
    所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t=
    		6
    -2．
    点评：本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高．
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    （1）求P点坐标及a的值；
    （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；
    （3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．
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    如图，已知抛物线c1：y=-
    14
    x2+bx+c    与x轴交于点A、B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线c2与抛物线c1关于y轴对称，点A、B的对称点分别是E、D，连接CD、CB，设AD=m．
    （1）抛物线c2可以看成抛物线c1向右平移
    m
    m
    个单位得到．
    （2）若m=2，求b的值．
    （3）将△CDB沿直线BC折叠，点D的对应点为G，且四边形CDBG是平行四边形，
    ①△CDB为
    等边
    等边
    三角形（按边分）；
    ②若点G恰好落在抛物线c2上，求m的值．

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    如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B精英家教网的左侧），点B的横坐标是1；
    （1）求a的值；
    （2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．

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    如图，已知抛物线C1：y=
    12
    x2    ，把它平移后得抛物线C2，使C2经过点A（0，8），且与抛物线C1交于点B（2，n）．在x轴上有一点P，从原点O出发以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴的方向移动，设点P移动的时间为t秒，过点P作x轴的垂线l，分别交抛物线C1、C2于E、D，当直线l经过点B前停止运动，以DE为边在直线l左侧画正方形DEFG．
    （1）判断抛物线C2的顶点是否在x轴上，并说明理由；
    （2）当t为何值时，正方形DEFG在y轴右侧的部分的面积S有最大值？最大值为多少？
    （3）设M为正方形DEFG的对称中心．当t为何值时，△MOP为等腰三角形？

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