Question

如图1，点A、B分别在x轴的原点左、右两边，点C在y轴正半轴，点F（0，-1），S_{四边形AFBC}=15，抛物线y=ax²-2ax+4经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上一点，且tan∠PCA=，求出点P的坐标．
（3）如图2，过A、B、C三点作⊙O′交抛物线的对称轴于N，点M为弧BC上一动点（异于B、C），E为MN上一点，且∠EAB=∠MNB，ES⊥x轴于S，当M点运动时，问的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由抛物线y=ax²-2ax+4知：对称轴x=1，C（0，4）；
∵S_{四边形AFBC}=S_△ABC+S_△ABF=AB（OC+OF）=AB（4+1）=15，
∴AB=6；
又∵A、B两点关于x=1对称，且AB=6，
∴A（-2，0）、B（4，0）；
将B（4，0）代入y=ax²-2ax+4中，得：
16a-8a+4=0，解得：a=-
∴抛物线的解析式：y=-x²+x+4．

（2）在△ACF中，OA=2、OF=1、OC=4，即：=，
又∵∠COA=∠AOF，
∴△AOC∽△FOA，
∴∠CAO=∠AFO，∠CAF=∠CAO+∠FAO=∠AFO+∠FAO=90°；
延长AF交直线CP于D，如右图1；
在Rt△ADC中，AC==2，tan∠DCA=，则：AD=3；
又∵tan∠OAF==，
∴sin∠OAF=，cos∠OAF=；
由AD=3可解得：D（4，-3）；
设直线CD：y=kx+4，代入D点的坐标可得：k=-；
联立直线CD和抛物线的解析式，得：
，
解得、
∴P（，-）．

（3）设圆心O′的坐标为（1，y），则：O′A²=9+y²、O′C²=1+（y-4）²=y²-8y+17，
∵O′A=O′C，
∴9+y²=y²-8y+17，解得：y=1，
∴⊙O′的半径R=；
延长AE，交⊙O′于点G，如右图2；
∵∠EAB=∠MNB，
∴G是的中点，即：=；
过G作⊙O′的直径GH，连接GH、HM、MG，则△HMG是直角三角形，且∠HMG=90°；
∵∠MAG=∠EAS（=），∠HMG=∠ESA=90°，
∴△HMG∽△ASE，得：=，即：=HG=2R…①；
连接AM、AN；
∵=、=，
∴∠GAB=∠MAE，∠AME=∠BAN；
对于△AEM有：∠GEM=∠MAE+∠AME；
又∵∠GMN=∠GAB+∠BAN，
∴∠GEM=∠GMN，即MG=GE，代入①式，得：=2R=2；
由相交弦定理得：ME•NE=AE•EG，∴=2；
综上，值不会发生变化，且值为2．
分析：（1）由抛物线的解析式不难得出点C的坐标，则OC长可知；四边形AFBC的面积可由△ABC、△ABF的面积和得出，所以根据四边形AFBC的面积即可求出AB的长，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，而对称轴方程可由抛物线的解析式得出，那么A、B两点的坐标即可求出，任取一点代入抛物线的解析式中即可得到待定系数的值．
（2）在（1）中，求出了OA=2，根据OA、OF、OC的长不难看出：OA²=OC•OF，显然△CAF正好是直角三角形，且∠CAF=90°，延长AF交CP于D，由tan∠PCA的值即可求得AD的长，∠OAF的正切值易求得，通过解直角三角形即可得到点D的坐标，在已知C、D两点坐标的情况下利用待定系数法可求出直线CD（即直线CP）的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．
（3）题目求的是的值，所以可以由与ES相关的相似三角形来解；由∠EAB=∠MNB可知，直线AE正好经过劣弧MB的中点（设中点为G），过点G作直径GH，连接HM、MG，显然△HMG也是直角三角形，且∠MHG=∠CAB（它们对应的是相等的劣弧），那么Rt△MHG∽Rt△SAE，可得到的是MG：2R=ES：AE，即=2R，而ME•NE=AE•EG，所以只需判断出MG和EG的数量关系就能确定该题的结论，通过观察图形，可以猜测的结论是MG=EG，即需要求证的是∠GME=∠GEM；∠GME对应的是劣弧NG（即和），而∠GEM=∠MAG+∠AMN（三角形外角的性质），那么∠GEM对应的是和；这四段劣弧中，=，=，所以∠GEM=∠GME，即GM=GE，那么该题的结论已经明确．
点评：这道二次函数综合题的难度较大；第一题中，通过四边形的面积求出A、B点的坐标是求出函数解析式的重要步骤；第二题中，判断出∠CAF的度数可以给解题带来很大的便利；最后一题是一道几何综合题，综合考查了圆和相似三角形的重要知识点，其中包含：圆周角定理、相交弦定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等，构建相似三角形和等腰三角形是两个比较难的地方．