Question

如图，A、B、C、D是半径为10的⊙O上的四点，其中∠CAD=∠ABD°=60°．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）求圆心O到CD的距离OE．

Answer 1

考点：圆周角定理,垂径定理

专题：

分析：（1）先根据圆周角定理得出∠ACD=∠ABD=60°，再根据三角形的内角和定理求出∠ADC=60°，然后根据等边三角形的判定即可证明△ACD是等边三角形；
（2）连接OC，由等边三角形的性质可知，∠OCE=30°，根据OC=10利用直角三角形的性质即可得出结论．

解答：（1）证明：在△ACD中，
∵∠CAD=∠ABD=60°，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD=60°，
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=180°-60°-60°=60°，
∴△ACD是等边三角形；

（2）解：连接OC，
∵△ACD为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O也为△ACD的内心，
∴CO平分∠ACD，
∴∠OCE=30°，
∴OE=

1

2

OC=5．

点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，直角三角形的性质等知识，将各知识点有机结合，旨在考查同学们的综合应用能力．