Question

已知ABCD是圆的内接四边形，且AC⊥BD于P，由顶点A和B向CD引垂线分别交对角线BD、AC于K、M（如图），则四边形AKMB是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,圆周角定理

专题：证明题

分析：首先根据直角三角形两锐角互余可证明∠2=∠3，然后再证明∠1=∠2，进而可证明△BEA≌△BEF，根据全等三角形的性质可得AE=EF，同理可得EK=EB，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABFK是平行四边形，再由条件AC⊥BD根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证出结论．

解答：证明：∵BL⊥DC，
∴∠3+∠LFC=90°，
∵AC⊥DB，
∴∠2+∠EFB=90°，
∵∠LFC=∠EFB，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△FBE中，

∠1=∠2 BE=BE ∠AEB=∠FEB

，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE=EF，
同理：KE=BE，
∴四边形ABFK是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AKMB是菱形．

点评：此题主要考查了菱形的判定，证明出∠1=∠2，得到△ABE≌△FBE是解决问题的关键．