Question

【题目】对于二次函数和一次函数，把 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：

【尝试】（1）当t=2时，抛物线 的顶点坐标为　 　；

（2）判断点A　 　(填是或否)在抛物线L上；

（3）n的值是　 　；

【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为　 　　 　．

【应用】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．

Answer 1

【答案】【尝试】（1，-2） 是 n=6；【发现】 （2，0）、（﹣1，6）；【应用】不是 理由见解析.

【解析】试题分析：

【尝试】

（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；

（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；

（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．

【发现】

将抛物线E展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．

【应用】

将【发现】中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x2+5x+2中进行验证即可．

解：（1）将t=2代入抛物线E中，得：y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x2-4x=2（x-1）2-2，

∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2）；

（2）点A在抛物线E上，

理由如下：∵将x=2代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，

∴点A（2，0）在抛物线E上．

（3）∵点B（-1，n）在抛物线E上，

∴将x=-1代入抛物线E的表达式中，

得：n=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．

∵将抛物线E的表达式展开，得：

y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4

∴抛物线E必过定点（2，0）、（-1，6）；

（4）不是．

∵将x=-1代入y=-3x2+5x+2，得y=-6≠6，

∴二次函数y=-3x2+5x+2的图象不经过点B．

∴二次函数y=-3x2+5x+2不是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”．