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    已知Rt△ABC，∠B=90°，直线EF分别于两直角边AB、AC交于E、F两点，且EF∥AC．P是斜边AC的中点，连接PE、PF，且已知AB=
    6
    5
    ，BC=
    8
    5
    ．
    （1）如图1，当E、F均为两直角边中点时，求证：四边形EPFB是矩形，并求出此时EF的长．
    （2）如图2，设EF的长度为x（x＞0），当sin∠EPF=
    4
    5
    （∠EPF为锐角）时，用含x的代数式表示EP的长度．
    （3）记△PEF 的面积为S，则当EP为多少时，S的值最大，并求出该最大值．
    考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,矩形的判定与性质
    专题：
    分析：（1）先求出四边形EPFB是平行四边形，再由∠B=90°得出四边形EPFB是矩形，利用勾股定理求出EF．
    （2）利用三角函数求出角的关系，再运用三角形相似求出x与EP的关系式．
    （3）作FH⊥AC交AC于点H，设EF=x，得出BF，CF及FH的值，再利用三角形面积求出EF及最大值，利用中位线定理即可求出EP的值．
    解答：解：如图1，

    ∵E是AB的中点，P是AC的中点，
    ∴EP∥BC，且EP=
    1
    2
    BC，
    ∵F是BC的中点，
    ∴EP∥BF，且EP=BF，
    四边形EPFB是平行四边形，
    ∵∠B=90°，
    ∴四边形EPFB是矩形，
    ∵AB=
    6
    5
    ，BC=
    8
    5
    ．
    ∴BE=
    3
    5
    ，BF=
    4
    5
    ，
    ∴EF=
    		(
    3
    5
    )2+(
    4
    5
    )2
    =1．
    （2）如图2，

    ∵sinA=
    BC
    AC
    =
    8
    5
    2
    =
    4
    5
    ，sin∠EPF=
    4
    5
    ，
    ∴∠A=∠EPF，
    ∵EF∥AC，
    ∴∠APE=∠PEF，
    ∴△APE∽△PEF．
    ∴
    AP
    EP
    =
    EP
    EF
    ，
    ∵AP=1，EP=x，
    ∴EP2=x，
    ∴EP=
    		x
    ．
    （3）如力图3，作FH⊥AC交AC于点H，

    ∵EF∥AC，
    ∴△BEF∽△BAC，
    设EF=x，则BF=
    4
    5
    x，CF=
    8
    5
    -
    4
    5
    x，
    ∴FH=
    3
    5
    CF=
    24
    25
    -
    12
    25
    x，
    ∴S=
    1
    2
    EF•FH=-
    6
    25
    x2+
    12
    25
    x=-
    6
    25
    （x-1）2+
    6
    25

    ∴当x=1时，S最大为
    6
    25
    ，
    ∵EF=1
    ∴此时点E，F为中点，
    ∴EP=
    1
    2
    BC=
    4
    5
    ．
    点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及二次函数的最值，解题的关键是运用三角形相似及三角函数求出线段之间的关系．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    具备下列条件的两个三角形中，不一定全等的是（　　）
    A、两角一边对应相等
    B、三边对应相等
    C、有两边一角对应相等
    D、有两边及其来夹角对应相等

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知x+y=7，x-y=3，下列各式计算结果不正确的是（　　）
    A、x2-y2=21
    B、xy=10
    C、x2+y2=49
    D、（x-y）2=9

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    解方程：
    2-x
    2x-2
    =
    3
    x-1
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    解方程：x2-4x+1=2（2x-1）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）解方程：x2-4x+1=0；
    （2）化简：（1+
    y2
    x2-y2
    ）÷
    x-y
    x
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    解方程：
    （1）2（2x-1）=3x-7；               
    （2）
    1.7-2x
    0.3
    =1-
    0.5+2x
    0.6
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-60，B点对应的数为-30．
    （1）在数轴上与B点距离10个单位的位置所表示的数是
     
    ；
    （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请求出C点对应的数是多少？
    （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以2单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3单位/秒的速度也向右运动，求出当两只电子蚂蚁相距20个单位时，电子蚂蚁P位置对应的数是多少？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在半径为R的半圆O内，画出两个正方形ABCD和正方形DEFG，使得A、D、E都在直径M、N上，B、F都在弧上．（1）如图①，当C、G重合时，求两个正方形的面积和S；
    （2）如图②，当点C在弧上时，求两个正方形的面积和；
    （3）如图③，探究：两个正方形ABCD和DEFG的面积和S是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，求S的最大值和最小值．

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