Question

（2002•哈尔滨）如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S_△ABC=6，∠B为锐角，且关于x的方程x²-4xcosB+1=0有两个相等的实数根．D是劣弧上任一点（点D不与点A、C重合），DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F．
（1）求∠B的度数；
（2）求CE的长；
（3）求证：DA、DC的长是方程y²-DE•y+DE•DF=0的两个实数根．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知关于x的方程有两个相等的实数根，可根据根的判别式来得到cosB的值，进而判断出∠B的度数；
（2）在（1）题中不难得出∠B=60°，而四边形ABCD内接于⊙O，可得到∠ADE=∠CDE=∠B=60°，欲求CE，可先求出AC的长．过A作AG⊥BC于G，根据△ABC的面积和BC的长，可求得AG的值，进而通过解直角三角形可求出BG、CG的长，在Rt△AGC中，由勾股定理即可求得AC（即CE）的值；
（3）若DA、DC是所求方程的两个根，需满足两个条件：①DA+DC=DE，②DA•DC=DE•DF；
①可在DE上截取DM=DA，连接AE，通过证△AME≌△ADC，来得到EM=DC，从而得到DA+DC=DE；
②通过证△ADF∽△EDC来求得DA•DC=DE•DF．
得到上述两个条件后，即可根据根与系数的关系来证得所求的结论．
解答：（1）解：由题意知：
△=（4cosB）²-4=0，即cosB=；
∴∠B=60°；

（2）解：过A作AG⊥BC于G；
∵S_△ABC=BC•AG=6，
∴AG=12÷4=3；
Rt△ABG中，∠B=60°，AG=3，则BG=3；
Rt△AGC中，CG=BC-BG=1，AG=3，由勾股定理，得：
AC==2；
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°-∠B=120°；
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠EDA=∠B=60°；
∴EC=AC=2；

（3）证明：在DE上截取DM=DA，连接AM；
由（2）知：∠EDA=60°，则△ADM是等边三角形，得：DA=DM=AM；
∵∠EDA=∠B=60°，
∴AE=AC；
∵∠EAC=∠EDC=∠MAD=60°，
∴∠EAM=∠DAC=60°-∠MAF；
又∵DA=AM，
∴△AME≌△ADC，得：EM=DC；
∴DE=EM+DM=DA+DC；…①
∵∠FAD=∠DEC，∠ADF=∠EDC，
∴△ADF∽△EDC；
∴DA•DC=DE•DF；…②
联立①②可知：DA、DC的长是方程y²-DE•y+DE•DF=0的两个实数根．
点评：此题考查了圆周角定理、三角形面积的求法、根与系数的关系、根的判别式、特殊角的三角函数值、解直角三角形、相似三角形及全等三角形的判定和性质等知识的综合应用能力，综合性强，难度较大．