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如图,已知平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1).
(1)若P(p,0)是x轴上的一个动点,则当p=
 
时,△PAB的周长最短;
(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点,则当a=
 
时,四边形ABDC的周长最短;
(3)设M,N分别为x轴和y轴上的动点,请问:是否存在这样的点M(m,0)、N(0,n),使四边形精英家教网ABMN的周长最短?若存在,请求出m=
 
,n=
 
(不必写解答过程);若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据题意,设出并找到B(4,-1)关于x轴的对称点是B',其坐标为(4,1),进而可得直线AB'的解析式,进而可得答案;
(2)过A点作AE⊥x轴于点E,且延长AE,取A'E=AE.做点F(1,-1),连接A'F.利用两点间的线段最短,可知四边形ABDC的周长最短等于A'F+CD+AB,从而确定C点的坐标值.
(3)根据对称轴的性质,可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N,当且仅当m=
5
2
,n=-
5
3
;时成立.
解答:精英家教网解:(1)设点B(4,-1)关于x轴的对称点是B',其坐标为(4,1),
设直线AB'的解析式为y=kx+b,
把A(2,-3),B'(4,1)代入得:
2k+b=-3
4k+b=1

解得
k=2
b=-7

∴y=2x-7,
令y=0得x=
7
2

即p=
7
2


(2)过A点作AE⊥x轴于点E,且延长AE,取A'E=AE.做点F(1,-1),连接A'F.那么A'(2,3).
直线A'F的解析式为y-1=
3-(-1)
2-1
•(x-1)
,即y=4x-5,
∵C点的坐标为(a,0),且在直线A'F上,
∴a=
5
4


(3)存在使四边形ABMN周长最短的点M、N,
作A关于y轴的对称点A′,作B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,与x轴、y轴的交点即为点M、N,
∴A′(-2,-3),B′(4,1),
∴直线A′B′的解析式为:y=
2
3
x-
5
3

∴M(
5
2
,0),N(0,-
5
3
).
m=
5
2
,n=-
5
3
点评:考查图形的轴对称在实际中的运用,同时考查了根据两点坐标求直线解析式,运用解析式求直线与坐标轴的交点等知识.
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