Question

15．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1）．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①求OF的长；
②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．

Answer 1

分析 （1）由D点坐标可求得k的值，可求得反比例函数的表达式；
（2）①由中心对称的性质可知△ABC≌△EFG，由D点坐标可求得B点坐标，从而可求得BC和AC的长，由全等三角形的性质可求得GE和GF，则可求得E点坐标，从而可求得OF的长；②由条件可证得△AOF≌△FGE，则可证得AF=EF=AB，且∠EFA=∠FAB=90°，则可证得四边形ABEF为正方形．

解答 解：
（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过点D（3，1），
∴k=3×1=3，
∴反比例函数表达式为y=$\frac{3}{x}$；

（2）①∵D为BC的中点，
∴BC=2，
∵△ABC与△EFG成中心对称，
∴△ABC≌△EFG，
∴GF=BC=2，GE=AC=1，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴E（1，3），即OG=3，
∴OF=OG-GF=1；
②如图，连接AF、BE，

∵AC=1，OC=3，
∴OA=GF=2，
在△AOF和△FGE中
$\left\{\begin{array}{l}{AO=FG}\\{∠AOF=∠FGE}\\{OF=GE}\end{array}\right.$
∴△AOF≌△FGE（SAS），
∴∠GFE=∠FAO=∠ABC，
∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°，
∴EF∥AB，且EF=AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AF=EF，
∴四边形ABEF为菱形，
∵AF⊥EF，
∴四边形ABEF为正方形．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得E点坐标是解题的关键，在（2）②中证得△AOF≌△FGE是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．