Question

如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=2

3

，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接OA；
∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP，
∴∠P=∠ABO=30°；
∵∠AOB=∠OAP+∠P，
∴∠OAP=120°-30°=90°，
∴PA是⊙O的切线．
（2）如图，过点O作OM⊥AB，则AM=BM=

3

，
∵tan30°=

OM

AM

，sin30°=

OM

AO

，
∴OM=1，OA=2；
∴S△AOB=

1

2

×AB•OM=

1

2

×2

3

×1=

3

，
S扇形OAB=

120π•22

360

=

4π

3

，
∴图中阴影部分的面积=

4π

3

-

3

．

点评：该题主要考查了切线的判定、扇形的面积公式及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用圆周角定理及其推论、垂径定理等几何知识点来分析、判断、解答．