Question

     反比例函数y＝ (k为常数,k≠0)的图象是双曲线.当k＞0时，双曲线两个分支分别在

一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小（简称增减性）；反比例函数的图象关于

   原点对称（简称对称性）．   

   这些我们熟悉的性质，可以通过说理得到吗？

  【尝试说理】

我们首先对反比例函数y＝（k＞0）的增减性来进行说理．

如图，当x＞0时．

在函数图象上任意取两点A、B，设A(x₁，)，B(x₂，)，

且0＜x₁＜ x₂．

下面只需要比较和的大小．

—＝ ．

∵0＜x₁＜ x₂，∴x₁－x₂＜0，x₁ x₂＞0，且 k＞0．

∴＜0．即．

这说明：x₁＜ x₂时，．也就是：自变量值增大了，对应的函数值反而变小了．

即：当x＞0时，y随x的增大而减小．

同理，当x＜0时，y随x的增大而减小．

（1）试说明：反比例函数y＝  （k＞0）的图象关于原点对称．

   【运用推广】

（2）分别写出二次函数y＝ax² (a＞0，a为常数)的对称性和增减性，并进行说理．

对称性：                                            ；

增减性：                                             ．

说理：

（3）对于二次函数y＝ax²＋bx＋c (a＞0，a，b，c为常数)，请你从增减性的角度，简要解释为何当x＝— 时函数取得最小值．

Answer 1

  （1）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上任取一点P(m，n)，于是：mn＝k．

      那么点P关于原点的对称点为P₁(－m，－n)．而(－m)(－n)＝mn＝k，

      这说明点P₁也必在这个反比例函数y＝的图象上．

     所以反比例函数y＝  （k＞0）的图象关于原点对称．

（2）对称性：二次函数y＝ax² (a＞0，a为常数)的图象关于y轴成轴对称．

     增减性：当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小．

     理由如下：

     ①在二次函数y＝ax² (a＞0，a为常数) 的图象上任取一点Q(m，n)，于是n＝am²．

     那么点Q关于y轴的对称点Q₁(－m，n)．而n＝a(－m)²，即n＝am²．

     这说明点Q₁也必在在二次函数y＝ax² (a＞0，a为常数) 的图象上．

     ∴二次函数y＝ax² (a＞0，a为常数)的图象关于y轴成轴对称，

     ②在二次函数y＝ax² (a＞0,a为常数)的图象上任取两点A、B,设A(m，am²),

       B(n，an²) ，且0＜m＜n．

     则an²－am²＝a(n＋m)(n－m)

     ∵n＞m＞0，

     ∴n＋m＞0，n－m＞0；

     ∵a＞0，

     ∴an²－am²＝a(n＋m)(n－m)＞0．即an²＞am²．

    而当m＜n＜0时，

    n＋m＜0，n－m＞0；

    ∵a＞0，

    ∴an²－am²＝a(n＋m)(n－m)＜0．即an²＜am²．

    这说明，当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小．

    

（3）二次函数y＝ax²＋bx＋c (a＞0，a，b，c为常数) 的图象可以由y＝ax²的图象通过平

     移得到，关于直线x＝—对称，当x＝—时，y＝．

     由（2），当x≥—时，y随x增大而增大；也就是说，只要自变量x≥—，其对应

     的函数值y≥；而当x≤—时，y随x增大而减小，也就是说，只要自变量x

     ≤—，其对应的函数值y≥．

综上，对于二次函数y＝ax²＋bx＋c (a＞0，a，b，c为常数)，当x＝— 时取得最小值．