Question

如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=

2

cm，P在BC上，以C为圆心、PC为半径画弧交边AC于D，以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E．设PB=xcm，图中阴影部分的面积为ycm²（π取3）．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）当P在什么位置时，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

考点：扇形面积的计算,二次函数的最值,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）利用扇形面积以及等腰直角三角形的性质得出面积即可；
（2）利用三角形边长得出自变量x的取值范围；
（3）利用（1）中所求求出面积最值即可．

解答：解：（1）∵AB=AC=

2

cm，
∴BC=2cm，
∵设PB=xcm，
∴PC=（2-x）cm，
∴y=

1

2

×

2

×

2

-

45π•x2

360

-

45π•(2-x)2

360

=1-

πx2

8

-

π(2-x)2

8

=1-

π(2-2x+x2)

4

≈-

3

4

x²+

3

2

x-

1

2

；

（2）∵以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E，
∴0≤x≤

2

；

（3）∵y=-

3

4

x²+

3

2

x-

1

2

，
∴当x=1时，y_最大=

1

4

，
答：当PB=1cm时，即为BC的中点，y有最大值，最大值是1cm²．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及扇形面积求法和二次函数的最值求法，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键．