Question

11．已知l₁∥l₂∥l₃，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 过点A作AD⊥l₁于D，过点B作BE⊥l₁于E，根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BE，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据等腰直角三角形斜边等于直角边的$\sqrt{2}$倍求出AB，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．

解答 解：如图，过点A作AD⊥l₁于D，过点B作BE⊥l₁于E，设l₁，l₂，l₃间的距离为1，

∵∠CAD+∠ACD=90°，
∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC=BC，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{∠ADC=∠BEC=9{0}^{°}}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE=1，
在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，
在等腰直角△ABC中，AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$，
∴sinα=$\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．