Question

已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，点M恰在BC上．
（1）求证：AM⊥DM；
（2）若∠C=90°，求证：BM=CM；
（3）若M是BC的中点，猜想AD、AB、CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由AB∥CD就可以得出∠CDA+∠DAB=180°，由角平分线的性质就可以得出∠ADM=

1

2

∠ADC，∠DAM=

1

2

∠DAB，就可以求出∠AMD=90°而得出结论；
（2）如图1，作ME⊥AD，由AB∥CD就可以得出∠B=90°，由交平分线的性质就可以得出ME=MC．ME=MB而得出结论；
（3）如图2，延长DM、AB相交于点F，则△DCM≌△FBM，就有DM=FM，CD=BF，由AM⊥DM得出AD=AF，由AF=AB+BF=AB+CD，进而得出AD=CD+AB．

解答：证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠CDA+∠DAB=180°．
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠ADM=

1

2

∠ADC，∠DAM=

1

2

∠DAB，
∴∠ADM+∠DAM=

1

2

（∠CDA+∠DAB）=

1

2

×180°=90°，
∴∠AMD=90°，
∴AM⊥DM；
（2）如图1，作ME⊥AD，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°．
∵∠C=90°，
∴∠B=90°，
∴MC⊥CD，MB⊥AB．
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴ME=MC．ME=MB，
∴BM=CM；
（3）AD=CD+AB．
理由：如图2，延长DM、AB相交于点F，
∵M是BC的中点，
∴CM=BM．
∵AB∥CD，
∴∠C=∠B，∠CDM=∠F．
在△DCM和△FBM中，

∠C=∠B ∠CDM=∠F CM=BM

，
∴△DCM≌△FBM（AAS），
∴CD=BF，DM=FM．
∵AM⊥DM，
∴AD=AF．
∵AF=AB+BF，
∴AF=AB+CD，
∴AD=AB+CD．

点评：本题考查了角平分线的性质的运用，垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，垂直的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．