Question

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）用尺规作出OC、OB中点，分别为E、F（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）连接AE、DF，求证：AE=DF．

Answer 1

（1）解：过O左AB、AC的平行线，交AB与J、交DC与K、交AD与H、交BC与G，连接JG，则JG与OB的交点即是点E的位置，JG则GK与OC的交点即是点F的位置，
所作图形如下所示：

（2）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，OB=OC，
又FC=OC，EB=OB，
∴FC=EB，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△DCF，故可得AE=DF．
分析：（1）过O左AB、AC的平行线，交AB与J、交DC与K、交AD与H、交BC与G、从而在平行四边形JOGB中连接JG，则JG与OB的交点即是点E的位置，在平行四边形KOGC中连接JG则GK与OC的交点即是点F的位置．
（2）根据平行四边形的性质可得AB=CD，∠BAC=∠DCA，结合FC=OC，EB=OB，可利用SAS证明△ABE≌△CDF，从而可得出结论．
点评：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质及复杂作图的知识，综合的知识点较多，有一定的难度，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分且相等，另外在作图时要注意按要求作，不要想当然．