Question

问题探究
（1）在图①的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积？
（2）在图②的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积？
问题解决
（3）如图③，现有一块半径R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？

Answer 1

解：（1）如图①，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形．
连接OC，则OC⊥AB．
∵AB=2OB•tan30°=R，
∴S_△ACB=．

（2）如图②，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形．
连接OA．令OB=a，则AB=2a．
在Rt△ABO中，a²+（2a）²=R²．
即．
S_{正方形ABCD}=（2a）²=．

（3）存在．
如图③，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A′、D′．
连接A′D、OD，则A′D为⊙O的直径．
∴S_矩形ABCD=AB•AD==S_△AA′D．
∵在Rt△AA′D中，当OA⊥A′D时，S_△AA′D的面积最大．
∴S_{矩形ABCD最大}=．
分析：（1）如图①，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形．连接OC，则OC⊥AB，根据垂径定理得到AB=2OB，然后利用含30°的直角三角形三边的关系求出OB，再利用三角形的面积公式计算即可；
（2）如图②，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形．连接OA．令OB=a，则AB=2a，利用勾股定理求出边长，再利用正方形的面积公式计算即可；
（3）如图③，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A′、D′．
连接A′D、OD，则A′D为⊙O的直径．在Rt△AA′D中，当OA⊥A′D时，S_△AA′D的面积最大．
点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了等边三角形和正方形的性质以及勾股定理．