Question

14．如图，矩形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于F，AE⊥CE于E，连BE交AD于N，连BD交CE于M，若CE=CB，则下列结论：①△AEF≌△CDF；②N为BE的黄金分割点；③S_△MBC=（3+2$\sqrt{2}$）S_△NEA；④BD=$\sqrt{2}$BE；其中正确结论个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 先利用矩形的性质和角平分线的性质判断出△CDF和△AEF是全等的等腰直角三角形，判断出①正确，设出EG=x，利用平行线得出比例式$\frac{EG}{BN}=\frac{EG}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，判断出②错误，再利用勾股定理和相似三角形的性质，用x表示出BC，PC，AN，即可求出三角形NEA和三角形BMC的面积，即可判断出③正确，最后用勾股定理求出BD和BE可判断出④正确．

解答 解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CB，AD=BC，∠CBD=∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，AD∥BC
∵CE平分∠BCD交AD于F，
∴∠DCF=∠BCF=45°，
∴∠AFE=∠CFD=∠BCF=45°，
∵AE⊥CF，
∴∠AEF=∠CDF=90°，
∵CE=CB，
∴∠CBE=∠CEB=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=CD，
在△AEF和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠CFD}\\{∠AEF=∠CDF}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CDF，
所以①正确；
∵△AEF≌△CDF，
∴∠EAF=45°，
过点E作EG⊥AD
设EG=x，
∴AG=x，AE=AB=DF=CD=$\sqrt{2}$x，AF=2x
∵EG∥AB，
∴$\frac{EG}{BN}=\frac{EG}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴N不是BE的黄金分割点；
∴所以②错误；
∵EG∥AB，
∴$\frac{NG}{AN}=\frac{EG}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∵AG=x，
∴AN=（2-$\sqrt{2}$）x，
∴S_△NEA=$\frac{1}{2}$AN×EG=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$x²，
∵CF=AF=$\sqrt{2}$x，EF=x，
∴BC=CE=（$\sqrt{2}$+2）x，
过点M作MP⊥CD，
∴$\frac{DP}{PC}=\frac{DF}{BC}$=$\frac{x}{（\sqrt{2}+1）x}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，
∵CD=PC+PD=$\sqrt{2}$x，
∴PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴S_△BMC=$\frac{1}{2}$BC×PC=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$x²，
∴S_△MBC=（3+2$\sqrt{2}$）S_△NEA；
所以③正确；
过点E作EH⊥AB交BA延长线于H，
∴四边形AGEH是正方形，
∴AH=HE=EG=x，
在Rt△BHE中，BH-AB+AH=（$\sqrt{2}$+1）x，EH=x，
∴BE²=BH²+HE²=（4+2$\sqrt{2}$）x²=2（2+$\sqrt{2}$）x²，
在Rt△BCD中，CD=$\sqrt{2}$x，BC=（2+$\sqrt{2}$）x，
∴BD²=BC²+CD²=（8+4$\sqrt{2}$）x²=4（2+$\sqrt{2}$）x²=2BE²，
∴BD=$\sqrt{2}$BE；
所以④正确，
即：正确的有①③④共3个，
故选C．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是判断出AB=AE和用勾股定理表示线段，难点是作出辅助线．是一道难度比较大的中考压轴题．