Question

已知n是大于1的整数，
求证：n³可以写出两个正整数的平方差．

Answer 1

分析：由n³分解为（

n

2

）²•4n，4n还等于[（n+1）²-（n-1）²]，得出平方差公式形式，因为n是大于1的整数，得出n（n+1），n（n-1）不仅大于1，而且均能被2整除，进一步得出原命题的正确性．

解答：证明：∵n³=（

n

2

）²•4n，
=（

n

2

）²[（n+1）²-（n-1）²]，
=[

n

2

（n+1）]²-[

n

2

（n-1）]²，
∵n是大于1的整数，
∴n（n+1），n（n-1）不仅大于1，而且均能被2整除，
∴

n

2

（n+1），

n

2

（n-1）均为正整数，
因此，命题得证，n³可以写出两个正整数的平方差．

点评：此题主要考查了因式分解的综合应用，n³分解出（

n

2

）²•4n，进而得出4n=[（n+1）²-（n-1）²]，这是解决问题的关键．