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已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点M的坐标为（1，-2）与y轴交于点C（0， $数学公式$ ），与x轴交于A、B两点（A在B的左边）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点P是线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段BM上移动且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ= $数学公式$ ₁，求y₁与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①在（2）的条件下是否存在点P，使△PQB是PB为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由；
②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标．

解：（1）∵抛物线的顶点为M（1，-2）可设y=a（x-1）²-2，
由点（0， $\text{[math]}$ ）得： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

（2）在x₂=3中，由y=0，得 $\text{[math]}$ ，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A为（-1，0），B为（3，0）．
∵M（1，-2），
∴∠MBO=45°，MB= $\text{[math]}$ ，
∴∠MPQ=45°∠MBO=∠MPQ，
又∵∠M=∠M，
∴△MPQ∽△MPB，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （0≤x＜3）．

（3）①存在点Q，使QP=QB，即△PQB是以PB为底的等腰三角形，
作PB的垂直平分线交BM于Q，则QP=QB．
∴∠QPB=∠MBP=45°
又∵∠MPQ=45°，
∴此时MP⊥x轴，
∴P为（1，0），
∴PB=2．
∴Q的坐标为（2，-1）．
②使△BMF是等腰三角形的F点有：
F₁（1，0），F₂（1， $\text{[math]}$ ），F₃（1， $\text{[math]}$ ），F₄（1，2）．
分析：（1）设抛物线的表达式为y=a（x-1）²-2，将点C的坐标代入即可得出答案；
（2）先证明△MPQ∽△MPB，根据相似的性质列等式，求y₁与x的函数关系式；
（3）①假设存在满足条件的P点，根据条件△PQB是PB为底的等腰三角形，作PB的垂直平分线交BM于Q，QP=QB．求出P点和Q点坐标；②根据△BMF是等腰三角形，只要点F使得该三角形的两边相等即可．
点评：本题考查了二次函数的知识，是一道综合题，有一定难度，注意对各部分知识的熟练掌握以便灵活应用．

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科目：初中数学 来源： 题型：

已知：抛物线y=x2-(a+b)x+

，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边．
（1）求证：抛物线与x轴必有两个不同交点；
（2）设直线y=ax-bc与抛物线交于E、F两点，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为x=a，△MNE与△MNF的面积比为5：1，求证：△ABC是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，设△ABC的面积为

，抛物线与x轴交于点P、Q，问是否

存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在，求出圆的圆心坐标，若不存在，请说明理由．