Question

如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：△PQE∽△PMF；
（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；
（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．

Answer 1

（1）证明：∵PE⊥BC，PF⊥AC，∠C=90°，
∴∠PEQ=∠PFM=90°，∠EPF=90°，即∠EPQ+∠QPF=90°，
又∵∠FPM+∠QPF=∠QPM=90°，
∴∠EPQ=∠FPM，
∴△PQE∽△PMF；

（2）解：相等．
∵PB=BQ，∠B=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∵△PQE∽△PMF，
∴∠PMF=∠BQP=60°，
又∠A+∠APM=∠PMF，
∴∠APM=∠A=30°，
∴PM=MA；

（3）解：AB===20，BP=x，则AP=20-x，
PE=xcos30°=x，PF=（20-x）•，
S_△PEM=PE×PF，
∴y=•x•
=（20x-x²）
=-（x-10）²+（0≤x≤10）．
∴当x=10时，函数的最大值为．
分析：（1）由∠EPF=∠QPM=90°，利用互余关系证明△PQE∽△PMF；
（2）相等．运动速度相等，时间相同，则BP=BQ，∠B=60°，△BPQ为等边三角形，可推出∠MPA=∠A=30°，等角对等边；
（3）由面积公式得S_△PEM=PE×PF，解直角三角形分别表示PE，PF，列出函数式，利用函数的性质求解．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质．关键是根据题意判断相似三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量关系．