Question

4．等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在△ABC外，且∠ADB=45°，BD=3，AD=4，求线段DC的长．

Answer 1

分析 过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交DA的延长线于F，如图，先证明△ABE≌△AFC得到AE=CF，BE=AF，在Rt△BDE中利用等腰直角三角形的性质得DE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则AE=AD-DE=4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，AF=BE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，CF=4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，然后在Rt△CDF中，利用勾股定理计算CD的长．

解答 解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交DA的延长线于F，如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE与△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠AFC}\\{∠1=∠3}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFC，
∴AE=CF，BE=AF，
在Rt△BDE中，∵∠ADB=45°，
∴DE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=AD-DE=4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AF=BE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，CF=4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△CDF中，CD=$\sqrt{C{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（4-\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（4+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{41}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和等腰直角三角形的性质．