Question

已知：如图，BD为⊙O的直径，BC为弦，A为BC弧中点，AF∥BC交DB的延长线于点F，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求AB的长．

Answer 1

分析：（1）连接AO，证明AO⊥AF由切线的判定定理可以得出AF是⊙O的切线．
（2）先根据相似三角形的判定得到△ABE∽△ADB，从而根据相似三角形的对应边成比例即可得到AD的长．

解答：（1）证明：连接OA，
∵A是BC弧的中点，
∴OA⊥BC．
∵AF∥BC，
∴OA⊥AF．
∴AF是⊙O的切线．

（2）解：∵∠BAE=DAB，∠ABE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB．
∴

AB

AD

=

AE

AB

．
∴AB²=AE•AD=12．
∴AB=2

3

．

点评：此题主要考查切线的判定，平行线的性质及圆周角定理等知识点的综合运用．