Question

15．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为$\frac{5}{2}$cm，tan∠DAE=$\frac{4}{3}$，求BD和EF的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，由于∠A=∠OCA，则根据三角形外角性质得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根据平行线的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根据切线的判定定理得CF为⊙O的切线；
（2）连接AD、AE、过点O作OH⊥BD于点H，由此可知△DAE是直角三角形，可设DE=4x，AD=3x，利用四边形OCEH是矩形即可表示BD的长度，利用勾股定理即可求出x的值．再证明∴△BOH∽△BFE即可求出BD和EF的值．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∴CF为⊙O的切线；
（2）连接AD、AE、
过点O作OH⊥BD于点H，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∴tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{4}{3}$
设DE=4x，AD=3x，
由（1）易证：四边形OCEH是矩形，
∴OC=EH=$\frac{5}{2}$，
∴DH=DE-EH=4x-$\frac{5}{2}$，
由垂径定理可知：BD=2DH=8x-5，
在Rt△ABD中，AB=5，
由勾股定理可知：5²=（3x）²+（8x-5）²
73x²-80x=0，
解得：x=0（舍去）或x=$\frac{80}{73}$，
∴BD=8x-5=$\frac{275}{73}$；
∴BH=DH=4x-$\frac{5}{2}$=$\frac{275}{146}$，
BE=EH-BH=5-4x=$\frac{45}{73}$，
易证：OH是△ABD的中位线，
∴OH=$\frac{3}{2}$x=$\frac{120}{73}$
∵EF∥OH，
∴△BOH∽△BFE
∴$\frac{OH}{EF}=\frac{BH}{BE}$
∴EF=$\frac{432}{803}$

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．