Question

10．△ABC中，∠B=30°，AB=$\sqrt{3}$，AC=1，线段BC的长为1或2．

Answer 1

分析 作△ABC的高AD．在直角△ABD中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．再分两种情况进行讨论：①∠ACB是锐角；②当∠AC′B是钝角．

解答 解：作△ABC的高AD．
在直角△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=30°，AB=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
分两种情况：
①当∠ACB是锐角时，
在直角△ACD中，∵∠ADC=90°，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AC=1，
∴sin∠C=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=90°，
∴BC=2AC=2；
②当∠AC′B是钝角时，
在直角△AC′D中，∵∠ADC′=90°，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AC′=1，
∴sin∠AC′D=$\frac{AD}{AC′}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AC′D=60°，
∴∠BAC′=∠AC′D-∠B=30°，
∴∠BAC′=∠B=30°，
∴BC′=AC′=1．
故答案为1或2．

点评 此题考查了解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的判定等知识．由于本题已知条件是SSA，三角形不能唯一确定，所以进行分类讨论是解题的关键．