Question

15．如图，AM是∠BAD的平分线，CM是∠BCD的平分线，AM、CM交于点M，CB、AM交于点F，AD、CM交于点G，AD、CB交于点E，∠B=32°，∠D=38°．
（1）求∠M的度数；
（2）求∠B，∠M，∠D之间的关系．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解；
（2）根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系．

解答 解：（1）解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，
∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，
同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，
∴∠M-∠B=∠D-∠M，
∴∠M=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）=$\frac{1}{2}$（32°+38°）=35゜；
（2）证明：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，
∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，
同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，
∴∠M-∠B=∠D-∠M
∴2∠M与∠B+∠D．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用对顶角相等和三角形外角的性质求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．