Question

如图，直线y=

1

2

x+2分别交x，y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，垂足为B，S_△ABP=9．
（1）求点A、点C的坐标；
（2）求点P的坐标；
（3）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作PT⊥x轴于T，当△BRT和△AOC相似时，求点R的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）要求点A、C的坐标，因为点A、C分别在x、y轴上．可以设出A（a，0），C（0，c）代入直线的解析式可知．
（2）证明△AOC∽△ABP，利用线段比求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标；
（3）设R点坐标为（x，y），求出反比例函数．又因为△BRT∽△AOC，利用线段比联立方程组求出x，y的值．

解答：解：（1）设A（a，0），C（0，c）由题意得 

1 2 a+2=0 c=2

，
解得：

a=-4 c=2

．
故A（-4，0），C（0，2）；

（2）根据A点坐标为（-4，0），C点坐标为（0，2），
即AO=4，OC=2，
又∵S_△ABP=9，
∴AB•BP=18，
又∵PB⊥x轴?OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴

AO

AB

=

OC

BP

，
即

4

AB

=

2

BP

，
∴2BP=AB，
∴2BP²=18，
∴BP²=9，
∵BP＞0，
∴BP=3，
∴AB=6，
∴P点坐标为（2，3）；

（3）如图①设R点的坐标为（x，y），
∵P点坐标为（2，3），
∴反比例函数解析式为y=

6

x

，
又∵△BRT∽△AOC，
∴①

AO

OC

=

BT

RT

时，有

4

2

=

x-2

y

，
则有

y= 6 x 2y=x-2

，
解得

x= 13 +1 y= 13 -1 2

，
②如图②，

AO

CO

=

RT

BT

时，有

4

2

=

y

x-2

，
则有

y= 6 x y=2x-4

，
解得

x=-1 y=-6

（不在第一象限，舍去），或

x=3 y=2

．
故R的坐标为（

13

+1，

13 -1

2

），（3，2）．

点评：本题考查的是一次函数的应用，相似三角形的判定等相关知识，综合性较强，难度中上．