Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E是边CD上一点，点F是CB延长线上一点，且DE=BF=4，解答下列问题：
（1）求证：△ABF≌△ADE；
（2）指出△AFB是由△AED怎样旋转得到的？并求出旋转过程中线段DE所扫过的区域的面积（列式计算即可）．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）根据SAS即可证明△ABF≌△ADE；
（2）△AFB是由△AED绕点A旋转90°得到的，再根据线段DE扫过的面积等于以AE、D为半径的两个扇形的面积的差列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°，
在△ABF和△ADE中，

AB=AD ∠ABF=∠ADE BF=DE

，
∴△ABF≌△ADE；
（2）△AFB是由△AED绕点A旋转90°得到的，
理由如下：
∵△ABF≌△ADE，
∴AD=AB，
即AD和AB是对应边，
∵∠BAD=90°，
∴△AFB是由△AED绕点A旋转90°得到的，
由题意可知：据线段DE扫过的面积等于以AE、D为半径的两个扇形的面积=

90π•AE2

360

-

90π•AD2

360

=

1

4

π（AE²-AD²），
∵DE=BF=4，
∴由勾股定理得：AE²-AD²=DE²=16，
∴线段DE所扫过的区域的面积=

1

4

π×16=4π．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，扇形面积的计算，其中（2）问理解线段DE扫过的面积的表示方法是解题的关键．