Question

6．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下四个结论：①AE=BD；②CN=CM；③MN∥AB；④ME=NB．其中正确结论的个数是4．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质可证明△ACE≌△DCB，可证明AE=BD，可判断①；结合①可证明△ACM≌△DCN，可证明CN=CM，可判断②；结合②可证明△CMN为等边三角形，可证得∠MNC=∠NCB=60°，可证明MN∥AB，可判断③；结合①②可判断④；可得出答案．

解答 解：
∵△ACD和△BCE为等边三角形，
∴AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，
故①正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠MAC=∠NDC，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠MCA=∠DCN=60°，
在△AMC和△DNC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠NDC}\\{AC=DC}\\{∠ACM=∠DCN}\end{array}\right.$
∴△AMC≌△DNC（ASA），
∴CM=CN，
故②正确；
∵CM=CN，
∴△CMN为等边三角形，
∴∠NMC=∠NCB=60°，
∴MN∥BC，
故③正确；
∵AE=BD，DN=AM，
∴AE-AM=BD-DN，即ME=BN，
故④正确；
∴正确结论有4个，
故答案为：4．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，能灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS和HL证明三角形全等是解题的关键．