Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，矩形MRTN内接于△ABC（RT在BC边上），正方形EGHF内接于△AMN（GH在MN边上），EF，MN分别交AD于点P，Q，设AP=x，已知BC=6，AD=4．
（1）试用x的代数式表示线段EF，MN的长；
（2）设S=S_EGHF+S_MRTN，
①求S关于x的解析式，并写出自变量x的取值范围；
②当x取何值时，S有最大值？
（3）连接RN，当△NRC是等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

解：（1）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴即，
∴，
又∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，
∴即，
∴；

（2）①∵，
∴，
即，
自变量x的取值范围为：；
②∵，b=15，
此时x=-=-=，
∵0＜＜，
∴（在范围内），S有最大值；

（3）当△NRC是等腰三角形时，分以下三种情形：
①当NR=NC时，∵NT⊥BC，∴RT=CT，∵，，
∴，
解得；
②当RC=NC时，∵，
∴，
在Rt△NCT中，∴，
∴，
解得；
③当RC=NR时，

解法一：如图，作RK⊥AC于点K，
则，
∵CK=RC×cosC，
∴，
解得；
解法二：∵RC²=NR²=NT²+RT²，
化简得1075x²-2000x+448=0，
解得，或（不合题意，舍去），
综上所述，当△NRC是等腰三角形时，，或，或．
分析：（1）先根据EF∥BC求出△AEF∽△ABC，根据其相似比可用含x的代数式表示出EF；同理，由MN∥BC，可求出△AMN∽△ABC，根据其相似比为可用含x的代数表示出MN的值；
（2）①由NT=DQ可用含x的代数式表示出NT的长，再结合（1）的结论便可写出S关于x的解析式，根据0＜NT＜4，即可求出x的取值范围；
②由①求出的函数解析式可判断出a、b的值，再根据x的取值范围及s的最值即可进性判断；
（3）由于等腰三角形的两腰不明确，故应分三种情况进行讨论．
点评：此题比较复杂，涉及到相似三角形判定与性质、二次函数的最值、等腰三角形的性质，在解（2）时一定要注意分类讨论，不要漏解．