Question

19．如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，求正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{2}{a^2}$
• B． $\frac{1}{3}{a^2}$
• C． $\frac{1}{4}{a^2}$
• D． 无法计算

Answer 1

分析 如图，作辅助线；由题意可以猜测：阴影部分的面积可能为定值；由旋转变换的性质、正方形的性质可证△ODM≌△OCN，故阴影部分的面积=△COD的面积，即可解决问题．

解答 解：如图，连接OD、OC；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DOC=90°，OD=OC，∠ODM=∠OCN=45°；
∵∠MON=90°，
∴∠MOD=∠NOC；
在△ODM与△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ODM=∠OCN}\\{OD=OC}\\{∠MOD=∠NOC}\end{array}\right.$，
∴△ODM≌△OCN（ASA），
∴S_△MOD=S_△NOC，
∴${S}_{阴影}={S}_{△COD}=\frac{1}{4}{a}^{2}$，
故选C．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；试题难度中等，为考查分析、解决问题能力的一道好题．