Question

12．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S_{四边形OPMN}=8S_△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由勾股定理可求得MN的长，则可求得OC的长，由垂径定理可求得OD的长，在Rt△OCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P点坐标；
（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线解析式；
（3）由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由S_{四边形OPMN}=8S_△QAB可求得点Q到x轴的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明△QAB∽△OBN即可．

解答 解：
（1）如图，连接OC，

∵M（4，0），N（0，3），
∴OM=4，ON=3，
∴MN=5，
∴OC=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{5}{2}$，
∵CD为抛物线对称轴，
∴OD=MD=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴PD=PC-CD=$\frac{5}{2}$-$\frac{3}{2}$=1，
∴P（2，-1）；
（2）∵抛物线的顶点为P（2，-1），
∴设抛物线的函数表达式为y=a（x-2）²-1，
∵抛物线过N（0，3），
∴3=a（0-2）²-1，解得a=1，
∴抛物线的函数表达式为y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；
（3）在y=x²-4x+3中，令y=0可得0=x²-4x+3，解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2，
∵ON=3，OM=4，PD=1，
∴S_{四边形OPMN}=S_△OMP+S_△OMN=$\frac{1}{2}$OM•PD+$\frac{1}{2}$OM•ON=$\frac{1}{2}$×4×1+$\frac{1}{2}$×4×3=8=8S_△QAB，
∴S_△QAB=1，
设Q点纵坐标为y，则$\frac{1}{2}$×2×|y|=1，解得y=1或y=-1，
当y=1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，
当y=-1时，可知P点即为所求的Q点，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD=QD，
∴△QAB为等腰直角三角形，
∵ON=OB=3，
∴△OBN为等腰直角三角形，
∴△QAB∽△OBN，
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，-1）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及勾股定理、垂径定理、待定系数法、相似三角形的性质和判定、二次函数的性质等知识．在（1）中利用垂径定理得到OD=2，从而求得CD的长是解题的关键，在（2）中注意设抛物线的顶点式更容易求解，在（3）中求得Q点的纵坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．