Question

直线y=-x+b与双曲线y=相交于点D（-4，1）、C（1，m），并分别与坐标轴交于A、B两点，过点C作直线MN⊥x轴于F点，连接BF．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）作出△ABF的外接圆，并求出圆心I的坐标；
（3）在（2）中⊙I与直线MN的另一交点为E，判断点D、I、E是否共线？说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=-x+b与双曲线y=相交于点D（-4，1），
∴1=4+b，解得b=-3；1=，解得k=-4，
∴直线解析式为y=-x-3；双曲线解析式为y=-；

（2）作△ABF的外接圆（如图所示）
分别作出线段AF、AB的垂直平分线l₁，l₂，l₁，l₂，的交点即为圆心I，以I为圆心，IA为半径作圆即为△ABF的外接圆；
∵直线解析式为y=-x-3；双曲线解析式为y=-，
∴，解得或，
∵D（-4，1），
∴C（1，-4），
∵直线MN⊥x轴于F点，
∴F（1，0），
∴直线l₁的解析式为x=-1；
∵直线解析式为y=-x-3，
∵A（-3，0），B（0，-3），
∴直线l₂的解析式为y=x，
∴，解得，
∴圆心I（-1，-1）；

（3）点D、I、E不共线．
∵A（-3，0），I（-1，-1），
∴AI==，
∴⊙O的方程为（x+1）²+（y+1）²=5，
∵直线MN的解析式为x=1，
∴直线MN与⊙I的交点为（1，0）或（1，-2），
∴E（1，-2），
设过点D、I直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵D（-3，0），I（-1，-1），
∴，解得，
∴过D、I的直线解析式y=-x-
∵当x=1时，y=-×1-=-≠-2，
∴点D、I、，E不共线．
分析：（1）直接把点D（-4，1）代入直线y=-x+b与双曲线y=即可得出结论；
（2）分别作出线段AF、AB的垂直平分线，其垂直平分线的交点即为圆心I，以I为圆心，IA为半径作圆；联立直线与双曲线的解析式即可得出C点坐标，故可得出F点的坐标，再由直线的解析式即可得出AB两点的坐标，故可得出线段AF及AB垂直平分线的解析式，由此可得出圆心I的坐标；
（3）先根据两点间的距离公式求出AI的长，由I（-1，-1）可得出⊙I的方程，把x=1代入可求出E点坐标，再用待定系数法求出直线DI的解析式，把x=1代入进行检验即可．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、直线与圆的交点问题等相关知识，难度适中．