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如图,在平面直角坐标系xOy中,经过点A,C,B的抛物线的一部分与经过点A,E,B的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“双抛物线”.已知P为AB中精英家教网点,且P(-1,0),C(
2
-1,1),E(0,-3),S△CPA=1.
(1)试求“双抛物线”中经过点A,E,B的抛物线的解析式;
(2)若点F在“双抛物线”上,且S△FAP=S△CAP,请你直接写出点F的坐标;
(3)如果一条直线与“双抛物线”只有一个交点,那么这条直线叫做“双抛物线”的切线.若过点E与x轴平行的直线与“双抛物线”交于点G,求经过点G的“双抛物线”切线的解析式.
分析:(1)已知了△APC的面积和点C的纵坐标,即可得到AP的长,进而可根据P点坐标,求出A、B的坐标,从而利用待定系数法求得过A、E、B三点的抛物线解析式.
(2)显然C点关于双抛物线的对称轴的对称点符合点F的要求,其坐标易求得;若F、C的纵坐标互为想法是,则F点的纵坐标为-1,将其代入过A、E、B三点的抛物线的解析式中,即可求得另两个点F的坐标.
(3)由于E、G关于抛物线的对称轴对称,易求得G点的坐标,设出经过点G的切线的解析式,将点G的坐标代入该直线的解析式中,即可消去一个未知数,然后联立(1)所得抛物线的解析式,由于两个函数只有一个交点,那么所得方程的根的判别式△=0,可据此求出该切线的解析式.
解答:解:(1)∵S△ACP=
1
2
AP•|yC|=1,由题意知:|yC|=1,
∴AP=2,即A(-3,0);
由于A、B关于点P对称,则B(1,0);
设经过A、E、B的抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x-1),则有:
a(0+3)(0-1)=-3,a=1,
故所求抛物线的解析式为:y=(x+3)(x-1)=x2+2x-3.

(2)由于△PAC和△PAF同底,若S△FAP=S△CAP,那么C、F的纵坐标的绝对值相同;
当F点的纵坐标为1时,C、F关于直线x=-1对称,则F(-
2
-1,1);
当F点纵坐标为-1时,代入y=x2+2x-3中,得:x2+2x-3=-1,
解得x=-1±
3

故F(-1+
3
,-1)或(-1-
3
,-1);
综上可知:存在符合条件的F点,且坐标为:F1(-
2
-1,1)、F2(-1+
3
,-1)、F3(-1-
3
,-1).

(3)由于EG∥x轴,则E、G关于直线x=-1对称,故G(-2,-3);
设经过点G的“双抛物线”的切线的解析式为:y=kx+b,
则有:-2k+b=-3,b=2k-3;
∴y=kx+2k-3;
由于G点同时在切线和抛物线的图象上,
则有:x2+2x-3=kx+2k-3,
即x2+(2-k)x-2k=0,
由于两个函数只有一个交点,则:
△=(2-k)2+8k=0,
解得k=-2;
故所求切线的解析式为:y=-2x-7.
点评:此题主要考查了三角形面积的计算方法、二次函数的对称性、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及根的判别式等重要知识,涉及的知识面广,难度较大.
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=
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k
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k
x
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