Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．
（1）求b、c的值；
（2）若只沿y轴上下平移该抛物线后与y轴的交点为A₁，顶点为M₁，且四边形AMM₁A₁是菱形，写出平移后抛物线的表达式．

Answer 1

分析 （1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值．
（2）把解析式化成顶点式，求得顶点M的坐标，根据A、M的坐标，易求得AM的长；根据平移的性质知：若四边形A A′B′B为菱形，那么必须满足AA₁=AM，由此可确定平移的距离，根据“上加下减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．

解答 解：（1）抛物线y=x²+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，则有：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{1+b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$；
故b=--4，c=3．

（2）由（1）得：y=x²-4x+3=（x-2）²-1；
∴M（2，-1），
∵A（0，3），
∴AM=$\sqrt{{2}^{2}+（-1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
由平移可知：AA₁∥MM₁，AA₁=MM₁，
当AA₁=AM=2$\sqrt{5}$时，四边形AMM₁A₁是菱形，
故抛物线需向下平移2$\sqrt{5}$个单位，即：
y=x²-4x+3+2$\sqrt{5}$或y=x²-4x+3-2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、菱形的判定和性质，注意（2）有上移和下移两种情况．