Question

用适当的方法解下列方程：
（1）（3x-1）²=（x+1）²；
（2）2x²+x-

1

2

=0；
（3）用配方法解方程：x²-4x+1=0；
（4）用换元法解方程：（x²+x）²+（x²+x）=6．

Answer 1

分析：本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）因方程移项可利用平方差公式分解，故用因式分解法；
（2）因方程系数特殊，可以用公式法求解；
（3）首先移项把常数项移到等号右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，则左边是完全平方式，右边是常数，即可求解；
（4）因方程有相同的部分可以用换元法代换，故用换元法求解．

解答：解：（1）将方程（3x-1）²=（x+1）²移项得，
（3x-1）²-（x+1）²=0，
∴（3x-1+x+1）（3x-1-x-1）=0，
∴4x（2x-2）=0，
∴x（x-1）=0，
解得x₁=0，x₂=1．

（2）∵2x²+x-

1

2

=0，
可得，a=2，b=1，c=

1

2

，
∴x=-

1

4

±

5

4

．

（3）∵x²-4x+1=0，
∴（x-2）²=3，
解得x₁=2+

3

，x₂=2-

3

．

（4）设x²+x=y，则y²+y=6，y₁=-3，y₂=2，
则x²+x=-3无解，
∴x²+x=2，
解得x₁=-2，x₂=1．

点评：本题考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用，当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．