Question

6．如图，△ABC与△AED中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．
（1）求证：GA平分∠DGB；
（2）若S_{四边形DGBA}=6，AF=$\frac{3}{2}$，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）先过点A作AH⊥BC于H，判定△ABC≌△AED，得出AF=AH，再判定Rt△AFG≌Rt△AHG，即可得出∠AGF=∠AGH；
（2）先判定Rt△ADF≌Rt△ABH，得出S_{四边形DGBA}=S_{四边形AFGH}=6，再根据Rt△AFG≌Rt△AHG，求得Rt△AFG的面积=3，进而得到FG的长．

解答 解：（1）过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC与△AED中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴S_△ABC=S_△AED，
又∵AF⊥DE，
即$\frac{1}{2}$×DE×AF=$\frac{1}{2}$×BC×AH，
∴AF=AH，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG=AG，
∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），
∴∠AGF=∠AGH，
即GA平分∠DGB；

（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AD=AB，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF=AH，
∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），
∴S_{四边形DGBA}=S_{四边形AFGH}=6，
∵Rt△AFG≌Rt△AHG，
∴Rt△AFG的面积=3，
∵AF=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×FG×$\frac{3}{2}$=3，
解得FG=4．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．