Question

9．设p、q为不相等的正整数，且关于x的方程x²-px+q=0和x²-qx+p=0的根都是正整数，则|p-q|=1．

Answer 1

分析 根据题意设方程x²-px+q=0的两个整数根分别为x₁、x₂且x₁≤x₂，方程x²-qx+p=0的两个整数根分别为x₃、x₄且x₃≤x₄，因为p、q、x₁、x₂、x₃、x₄都是正整数，由（x₁-1）（x₂-1）+（x₃-1）（x₄-1）=2可以得出三种情形，分别讨论即可得到答案．

解答 解：设方程x²-px+q=0的两个整数根分别为x₁、x₂且x₁≤x₂，方程x²-qx+p=0的两个整数根分别为x₃、x₄且x₃≤x₄，
则有：x₁+x₂=p，x₁x₂=q，x₃+x₄=q，x₃x₄=p，
∵p、q、x₁、x₂、x₃、x₄都是正整数，
∴（x₁-1）（x₂-1）+（x₃-1）（x₄-1）=（q-p+1）+（p-q+1）=2，
∴（x₁-1）（x₂-1）=0，（x₃-1）（x₄-1）=2，
或∴（x₁-1）（x₂-1）=1，（x₃-1）（x₄-1）=1，
或∴（x₁-1）（x₂-1）=2，（x₃-1）（x₄-1）=0，
由（x₁-1）（x₂-1）=0，（x₃-1）（x₄-1）=2得x₁=x₂=1，x₃=2，x₄=3，
∴p=6、q=5，
∴|p-q|=1
由（x₁-1）（x₂-1）=1，（x₃-1）（x₄-1）=1得x₁=x₂=x₃=x₄=2
∴p=q=4（不合题意舍弃）
由（x₁-1）（x₂-1）=2，（x₃-1）（x₄-1）=0得x₁=2，x₂=，3，x₃=x₄=1，
∴p=5、q=6，
∴|p-q|=1
综上所述|p-q|=1
故答案为1．

点评 本题考查根与系数的关系、有关正整数根的概念、灵活求方程的整数解是解决这个题目的关键．